[Unity] 벡터의 내적 Vector2D, Vector3D

벡터는 크기(Magnitude)와 방향(Direction)을 표현하는 값으로, 주로 화살표를 통해 나타낸다. 그림에서의 벡터는 원점에서 부터 P2(12, 5)로 방향성을 띄고 있으며, 백터의 크기는 피타고라스 정리를 통해 계산하면 13이된다.

Vector2 v1 = new Vector2(12, 5);
Debug.Log(v1.magnitude); // 13

 

움직이는 물체는 그 속력(Velocity)이 있는데, 이 속도 역시 벡터로 표현 가능하다. Fredrick은 현재 (5, 6)에 위치해있고, 1시간에 (12, 5)만큼 이동하는 속력를 가지고 있을때, Fredrict의 1시간 뒤 위치를 계산하기 위해서는 Fredrick의 현재 위치 벡터 값과 Fredrick의 속력 벡터값을 더하면 된다. 

Vector2 position = new Vector2(5, 6);
Vector2 velocity = new Vector2(12, 5);
Debug.Log(position + velocity); // (17, 10)

계산을 하면 Fredrick은 1시간 뒤 (17, 10)에 도착하게 되므로, (17, 10)은 1시간뒤 Fredrick의 위치 벡터값이 된다.

 

2D 벡터와 3D 벡터의 다른점은 깊이를 나타내는 Z축의 값이 추가되는 것이다. 유니티는 왼손 좌표계를 사용한다. (검지가 Y, 엄지 = X, 중지 = Z)

 

Unity는 Vector3.magnitude를 통해 3D 공간에서도 벡터의 크기를 손쉽게 알 수 있다. 

Vector3 quentin = new Vector3(0, 0, 0);
Vector3 charles = new Vector3(12, 7, 5);
Debug.Log((charles - quentin).magnitude); // 14.76482

 

벡터의 내적 (Dot Product)

벡터의 내적이란 두 벡터사이의 스칼라 값이다. 두 벡터 A, B의 크기를 곱한다음 사이각도의 cosθ 값을 곱한 것이 내적이 되는데, 아래 사진에서 각도 뒤에 괄호 쳐져있는 부분이 내적값이다. 

 

 

직교하고 있는 두 벡터의 내적을 계산하면 0이, 각도를 계산하면 90이 나옴을 알 수 있다. 

Vector3 A = new Vector3(0, 7, 0);
Vector3 B = new Vector3(0, 0, 6);
Debug.Log(Vector3.Dot(A, B)); // 0
Debug.Log(Vector3.Angle(A, B)); // 90

 

 

내적은 게임에서 시야각 내에 물체가 위치하는지 판별할 때 사용할 수 있다. 플레이어의 시선벡터를 forward라고 하고, 시야각 135도라고하고 G와 O 그리고 추가적으로 너무 멀어서 보이지 않는 B(100, 1)가 있다고 가정할때 이들이 플레이어의 시야에 보이는지 판별하는 코드는 다음과 같다.

 

public class Vector : MonoBehaviour
{
    int sightAngle = 135;
    void Start()
    {
        Vector2 player = new Vector2(0, 0);
        Vector2 forward = new Vector2(0, 10);
        Vector2 G = new Vector2(1, 5);
        Vector2 B = new Vector2(100, 1);
        Vector2 O = new Vector2(-1, -1);


        Debug.Log("G is Visible: " + isTargetInSight(player, G, forward)); // True, theta = 11, dotProduct: 0.9805807
        Debug.Log("B is Visible: " + isTargetInSight(player, B, forward)); // False, theta = 89, dotProduct: 0.009999501
        Debug.Log("O is Visible: " + isTargetInSight(player, O, forward)); // False, theta = 135, dotProduct: -0.7071068
    }

    bool isTargetInSight(Vector2 player, Vector2 target, Vector2 forward)
    {
        Vector2 targetDirection = (target - player).normalized;
        float dotProduct = Vector2.Dot(forward.normalized, targetDirection);
        // 내적의 값이 > 0 이면 플레이어 앞에있고, < 0이면 뒤에있다.
        Debug.Log("dotProduct: " + dotProduct);
        // Target과 Player사이의 각도
        float theta = Mathf.Acos(dotProduct) * Mathf.Rad2Deg;
        Debug.Log("theta: " + theta);
        // 시야각 안에있는지 여부
        return theta <= sightAngle / 2;
    }
}

 

벡터의 외적 (Cross Prodcut)

벡터의 외적은 두 벡터에 대해 수직인 벡터를 만드는 연산이다. 유니티에서는 Vector3.Cross 함수를 제공하여 편리하게 벡터의 외적 계산을 할 수 있도록 도와주고 있다.

 

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참고자료

https://bbungprogram.tistory.com/19

https://dallcom-forever2620.tistory.com/47

https://docs.unity3d.com/kr/530/Manual/UnderstandingVectorArithmetic.html

https://learn.unity.com/tutorial/vector-maths?uv=2019.3&projectId=5c8920b4edbc2a113b6bc26a#